PRÁCTICA SOBRE SECCIONES CÓNICAS.
Prof. SAMUEL A. CASTILLO R.
Este material representa ejemplos de problemas de las secciones cónicas.
1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola.
2. Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas
3. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0)
4. Hallar la ecuación de la parábola de V(-2,4) F(2,4)
5. Hallar la ecuación de la elipse de vértice V( 2,-2) y con un extremo del eje menor en (5,-1).
6. Determine el centro, los vértices y focos de la elipse que tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0
7. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).
8. Escribe la ecuación de una elipse con centro el origen y eje principal sobre el de abscisas, si además cumple, en cada caso:
a) Sus ejes miden 7 y 5.
b) Pasa por el punto (0,4) y su excentricidad es 3/5
c) El eje menor mide 4 y el punto (2,1) pertenece a la curva.
d) Uno de los vértices dista 8 de un foco y 18 del otro.
9. Halla la ecuación de las siguientes elipses, conociendo el centro C, el Foco F ; el vértice A y extremo del eje menor B.
a) C(0.0); F(0,4),A(0,5) b) C(-3,2);F(-1,2);A(2,2)
c) C(-1,1);F(0,1);B(-1,0) d) (-3,5); F(-3,9),A(-3,12)
e) C(1,0);F(1,4);A(1,6) f) C(-1,1);F(-1,2);B(0,1)
10. Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas, el centro C, el Foco F y el vértice A.
a) C(0,0); F(0,5),A(0,3) b) C(3,2);F(7,2);A(5,2)
c) C(-2,-5);F(0,-5);A(-1,-5) d) C(3,2); F(3,0),A(3,1)
e) C(-1,-1);F(-1,2);A(-1,7)
11. Reconoce en cada caso el tipo de cónica y reduce la ecuación a forma canónica. Calcula sus elementos.
12. Determine la ecuación de la parábola que tiene eje vertical y pasa por los puntos (2,3) (4,3) (6,-5).
13. Determine la ecuación canónica de la parábola con foco (-1,1)y directriz y = 5
14. Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje x y pase por los puntos (3,3) (6,5) y (6,-3)
15. Hallar la ecuación de la parábola de V(3,-1) F(8,-1)
16. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro (0,0), un vértice en (3,0) y ecuación de una asíntotas 2x – 3y = 0
17. Hallar la ecuación de la parábola de V(7,0) ecuación de la directriz y + 8 = 0
18. Hallar la ecuación de la parábola de F(0,- ) , ecuación de la directriz 3y + 7 =0
19. Hallar la ecuación de la parábola de V(-5,-1) F(-5,-7)
20. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje sobre los de coordenadas y que pase por los puntos (3,1) y (9,5).
21. Hallar la ecuación de la parábola de F(-3, ) , ecuación de la directriz 5y + 28 =0
22. Hallar la ecuación de la hipérbola de V(6,9) y (6,3) y una de sus ramas pasa por el origen.
23. Determine la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo a “y” su vértice es el punto (-3,5), y pasa por el punto (-1,6).
24. Determine la ecuación de la elipse de centro en el origen que satisfaga cada una de las siguientes condiciones; f(0,6) y e=1/2.
25. Determine la ecuación canónica de la parábola que pasa por los puntos (-2,3) (0,3) (1,9).
26. Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se indican:
a) Focos(±4,0), vértices(±5,0)
b) Longitud del lado recto = 5, vértices(±10,0)
c) Focos(0,±6), semieje menor = 8
d) Focos(±10,0), excentricidad
27. Hallar la ecuación de la elipse de centro (4,-1); uno de los focos es (1,-1) y que pase por el punto (8,0)
28. Hallar la ecuación de la elipse de centro(3,1); uno de los vértices (3,-2) y excentricidad
29. Hallar la ecuación de la parábola de vértice V(-1,0); que pasa por (1,-2) y el eje es vertical.
30. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro (-4,1), un vértice en (2,1) y semieje imaginario igual a 4.
31. Hallar la ecuación de la elipse de focos(±8,0) y que pasa por el punto(8, )
32. Hallar
a. Los vértices
b. Los focos
c. La excentricidad
d. El latus rectum; y las ecuaciones de las asíntotas de las hipérbolas siguientes:
A) 4x2 – 45y2 = 180
B) 9x2 – 16y2 – 36x – 32y – 124 = 0
33. Hallar la ecuación de la Hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, excentricidad 2 y la longitud del latus rectum igual a 18.
34. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (-6, -4) y (2, -4) sea igual a 6.
35. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices (±6,0) y asíntota 6y = ±7x.
36. Hallar la ecuación de las asíntotas de la hipérbola de centro C(-1,-1) eje real paralelo a “y” ; lado recto igual 8.; y la distancia entre los focos es de
37. En la línea lateral de un campo de fútbol americano se instala un dispositivo para escuchar lo que se dice en el centro de la cancha. Consiste en un plato parabólico con un micrófono en su foco. El plato tiene 4 pies de diámetro y 16 pulgadas de profundidad (1 pie = 12 pulgadas). Deduce una ecuación de la parábola con su vértice en el origen del sistema de coordenadas, y que la curva abra hacia la derecha. ¿En que punto se debe colocar el micrófono?.
38. La tierra tiene orbita elíptica. El semieje mayor mide 147,5 millones de Km; la excentricidad es próxima a . Calcula la máxima y mínima distancia de la tierra al sol en toda la orbita.
39. Un arco parabólico tiene una altura de 25 metros y una luz de 40 metros. Hallar la altura de los puntos del arco situados 8 metros a ambos lados de su centro. Sol: 21 metros.
40. La velocidad con que se lanza horizontalmente un proyectil es de 30m/s y la altura de lanzamiento es de 10 metros, obtén la ecuación de la parábola y la distancia horizontal donde cae el proyectil.
41. Suponga que el agua que sale por el extremo de un tubo horizontal que se encuentra a 7.5metros arriba del suelo, describe una curva parabólica, estando el vértice en el extremo del tubo. Si en un punto a 2.4m por debajo del nivel del tubo el flujo del agua se ha curvado hacia fuera 3metros mas allá de una recta vertical que pasa por el extremo del tubo. ¿A que distancia de esta vertical llegará el agua al suelo?
42. El recorrido del lanzamiento de un proyectil describe una semielipse; el lugar de caída del proyectil esta a 16 Km del lugar del lanzamiento. Si 4 Km antes del lugar de la caída, el proyectil estaba a una altura de 6Km. Cual fue la altura máxima del proyectil?
43. Los extremos del cable de un puente de suspensión se encuentran a 1000 metros de distancias y a 100 metros sobre el nivel del piso de la vía horizontal, mientras que el centro del cable esta a nivel de piso. Encontrar la altura del cable sobre el piso a una distancia de 300metros de la base de la torre de amarre en los extremos del puente, suponiendo que el cable resiste una carga de igual peso en distancias horizontales iguales.
44. Un faro reflector esta diseñado de tal manera que la fuente de luz se encuentra en el foco. Encuentre a que distancia del vértice del refractor se encuentra la fuente de luz, suponiendo que el reflector tiene 90cm de diámetro en la abertura y 30cm de profundidad.
45. En el SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en inglés), una estación principal de radio y una estación secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en el mar. Dos estaciones LORAN están separadas 250 millas a lo largo de una costa recta. a) Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 seg. entre las señales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde el barco alcanzará la costa si continúa sobre la trayectoria de la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo.
b) Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desde la estación principal, ¿qué diferencia de tiempo debe observar?
Solución
De donde obtenemos que h = 2 ; k = 3 y a = 1 (4a = 4). El vértice v(2,3) , por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en F(3,3) la recta directriz es x = 1 . La gráfica se muestra en la siguiente figura:
Se obtiene k = -1 y a = 4. por lo tanto la ecuación esta dada por: x2 + 4x – 16y-12 = 0
11.
12.
