Ejemplo 1. Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es
SoluciónPara hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en la ecuación general
De donde obtenemos que h = 2 ; k = 3 y a = 1 (4a = 4). El vértice v(2,3) , por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en F(3,3) la recta directriz es x = 1 . La gráfica se muestra en la siguiente figura:
Ejemplo 2. Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en (-2,4) y foco en (-2,3) .
Solución
Dado que el vértice(-2,4) se obtiene h = -2 , k = 4 y del foco(h,k-a) se tienen que la parábolaabre hacia abajo. Del foco obtenemos k - a =3, sustituyendo k y despejando "a" obtenemos que a = 1, entonces la ecuación canónica está dada por:
La directriz es y = 5 (recuerde y = k + a) .La gráfica se muestra en la figura siguiente:
Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la parábola con foco en el punto (-2,3) y recta directriz y = -5 .
Solución
Como la directriz y = -5 es horizontal y el foco esta arriba de esta, la parábola abre hacia arriba.
Del foco obtenemos que h = -2 , k + a = 3 Por otro lado de la directriz se obtiene k - a = -5,
Se obtiene k = -1 y a = 4. por lo tanto la ecuación esta dada por: x2 + 4x – 16y-12 = 0EJERCICIOS PROPUESTOS
Hallar la ecuación de la parábola que cumplan las condiciones siguientes
1. De directriz x = -3, de foco (3, 0).
2. De directriz y = 4, de vértice (-1,-1).
3. De directriz x = -5, de foco (1, 7).
4. De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
5. De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
6. De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
7. De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
8. De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
9. De vértice en(1,3) y foco en(2,3) .
Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas
10.
11.
12.
